Родился в г. Санкт-Петербург.
Профессиональную подготовку получил в Петроградском ин-те гражданских инженеров, где его основным учителем и наставником был академик архитектуры А. С. Никольский — одна из центральных и ярких фигур русского архитектурного авангарда.
В начале 1930-х гг. Явейн выступил с серией конструктивистских экспериментальных проектов, отмеченных премиями на Всесоюзных архитектурных конкурсах. Следует особо выделить проекты вокзала в Новосибирске (вторая премия) и Курского (Центрального) вокзала в Москве (высшая премия), содержащих ряд принципиально новых идей в области вокзалостроения.
Во второй половине 1930-х в творчестве Явейн начинается постепенный переход от строгих форм чистого конструктивизма в сторону экспрессионистически окрашенных экспериментов в области формообразования (отмеченные премиями проекты аэровокзала в Ленинграде, Дома правительства в Крыму, серия проектов вокзалов для магистрали Карталы - Акмолинск и др.).
Опыт творческой и исследовательской работы в области вокзалостроения обобщён Явейн в опубликованной в 1938 г. монографии "Архитектура железнодорожных вокзалов" — первом капитальном труде такого рода как в нашей стране, так и за рубежом, и в ряде научных исследований энциклопедического характера, охватывающих историю мирового вокзалостроения на протяжении более чем 150 лет.
В предвоенные годы по его проектам построено два крупных сооружения: здания Дубровской ГЭС (разрушено в годы войны) и жилой дом для инженерно-технических работников Свирьстроя на проспекте Щорса в Ленинграде. Этот дом признан одним из лучших образцов позднего конструктивизма в Ленинграде, взят государством под охрану в качестве памятника архитектуры.
Проекты и постройки Явейна 1940 - 1950-х гг. трудно соотнести с каким-либо стилем. Архитектурные работы в стиле художественного авангарда тогда не поощрялись, а ставший почти обязательным и официальным псевдоклассицизм он не принимал. Поэтому, как и некоторые другие архитекторы, искал свой путь. Сложность и разноплановость поисков отразилась в таких работах архитектора, как серия проектов железнодорожных вокзалов для Казахстана, вокзала в Новгороде и др.
Самым крупным из проектов Явейна стал вокзал в Курске, который строился с 1946 г. по 1951 г. и официально открыт 12 августа 1952 г. Здание представляет собой вокзал-памятник курянам-железнодорожникам - участникам битвы на Курской дуге.
В 1970-х гг. получает конкретное воплощение его идея "расширяющихся вокзалов", выполненная в нескольких сериях конкурсных проектов, получивших три высшие премии на Всесоюзном конкурсе малых вокзалов для станций Байкало-Амурской магистрали. Наиболее крупными творческими работами этого периода, отмеченными премиями на Всесоюзных и международных конкурсах, являются проекты морского вокзала в Ленинграде и ж.-д. вокзала в Софии (Болгария).
Последний период творчества Явейна отмечен тягой к обострённой выразительности и экспрессии архитектурной формы, что ярко проявилось в последнем здании, построенном в 1977 г. по его проекту - центральном вокзале курорта Юрмала под Ригой (ст. Дубулты).
В 1963 г. Явейн обобщает свои творческие и научные поиски в фундаментальном труде "Вопросы проектирования железнодорожных вокзалов", ставшем его докторской диссертацией.
Более 50 лет он, параллельно с проектированием, преподавал на архитектурных факультетах Ленинградского инженерно-строительного института, Академии художеств.
В 1969 г. создал кафедру архитектуры в Ленинградском институте инженеров железнодорожного транспорта, которую возглавлял до самой смерти.
Его наследие включает в себя около 100 зданий, значительное число премированных конкурсных проектов, памятники, дизайнерские работы, графику и др.
Умер в Ленинграде. Похоронен на мемориальном кладбище в Комарово (пригород Санкт-Петербурга).
Ист.: Е. В. Холодова, В. И. Пилявский. Магистраль творчества. // Ленинградская панорама. Л., 1982, № 9, с. 31 - 35.