Родился в Курске в семье рабочего.
В 1916 г. окончил городское училище и добровольно пошёл на службу в императорскую армию — вольноопределяющимся в 12-й Калишский полк.
Участвовал в боевых действиях Первой мировой войны, за что получил офицерский чин прапорщика.
Службу в Красной Армии начал в период Гражданской войны в России.
С 1918 г. — член ВКП(б).
В ноябре 1918 г. организовывал вооружённые отряды для борьбы с германскими интервентами и налаживал связи между партизанскими отрядами в белорусском городке Речица, оккупированном кайзеровскими войсками.
С сентябре 1919 г. — заместитель командира полка 12-й армии.
В 1920 г. — председатель Бахчисарайского ревкома, командир отряда частей особого назначения (ЧОН), вёл активную борьбу с бандитизмом в Крыму.
В 1922-1926 гг. — курский военком, член бюро райкома партии.
В 1926-1929 гг. (после демобилизации из армии) на партийной работе. Член Московского горкома партии, член бюро Сокольнического райкома, секретарь парткома завода "Красный богатырь".
В 1929 г. поступает в Институт красной профессуры, где усиленно изучает английский язык.
В 1931 г. после окончания института, К. Кукин рекомендован на работу во внешнюю разведку и в составе "легальной" резидентуры ОГПУ направлен в Англию.
В 1932 г. возвращается в Москву. Руководство ИНО ОГПУ направляет К. Кукина в Харбин (Китай). Там он работает под прикрытием должности генерального представителя Госстраха.
В 1934 г. вернулся в СССР из-за болезни.
В 1937 г. направлен в США, в должности второго секретаря советского полпредства в Вашингтоне.
В 1940-1943 гг. работает в Москве — заместитель начальника 1-го отдела внешней разведки (США и Канада).
В 1943 г. направлен резидентом внешней разведки в Лондон, где работал с "Кембриджской пятеркой".
По донесениям этой группы своевременно были раскрыты секретные планы летнего наступления гитлеровской армии — операции "Цитадель" — и дислокация 17 аэродромов "Люфтваффе".
Эта информация имела немаловажное значение для исхода битвы на Курской дуге. Упреждающим ударом советских ВВС уничтожено до 600 самолётов Люфтваффе, которые должны были участвовать в сражении.
"Кембриджская пятерка" обеспечивала советскую разведку важной военной, политической, экономической и научно-технической информацией, особенно по урановой проблеме. В области атомных секретов К. Кукин тесно взаимодействовал с другим советским разведчиком — В.Б. Барковским.
В 1947 г. в связи с реорганизацией внешней разведки К.М. Кукин назначается по совместительству Чрезвычайным и Полномочным послом СССР в Англии.
В 1949 г. возращается в Москву и назначается на должность начальника 1-го (англо-американского) управления Комитета информации при МИД СССР.
После успешного завершения служебной командировки в Великобританию вновь работает в центральном аппарате внешней разведки — начальник управления в Комитете информации.
В 1952 г. увольняется в запас по выслуге лет.
Скончался и похоронен в Москве.
Награды: орден Ленина (21.05.47); 2 ордена Красного Знамени (19.01.45, 28.10.67); 2 ордена Отечественной войны 1 степени (05.11.44, 11.45); орден Красной Звезды (20.09.43); медали; знак «Почетный работник ВЧК–ГПУ (03.01.37).