Родился в Минской губернии в семье виленских дворян герба «Лелива».
Учился в Оршанском дворянском уездном училище.
В 1847 г. окончил Главное инженерное училище.
В 1853 г. — Военно-инженерную академию.
В 1857-1862 гг. — чиновник особых поручений в штабе Н.Н. Муравьёва-Амурского.
В 1862-1884 гг. — первый управляющий акцизными сборами Курской губернии.
В 1884-1901 гг. — управляющий акцизными сборами Тульской, Костромской и Ярославской губерний.
В 1887 г. произведён в чин действительного статского советника.
Находясь на службе в Курской губернии много занимался благотворительной деятельностью.
По его инициативе и попечительстве, на средства частных благотворителей, в Курске устроена школа-приют для детей воинов, павших в Русско-турецкой войне 1877-1878.
В 1882-1884 гг. являлся директором этого детского приюта.
Супруга Е.Б. Кукель будучи начальницей Курской Мариинской гимназии одновременно являлась членом попечительского совета заведения.
В г. Санкт-Петербург Б.К. Кукель основал приют-убежище для ослепших на войне низших чинов.
Награды: Орден св. Анны 3-й степени,
Имя Б. Кукеля носит Костромское училище-интернат слепых.
Ист: Из эпохи уничтожения откупов: Воспоминания первого, по времени назначения, акцизного чиновника 1862-1863 гг. // Русская старина. Т.LXXIII. No 1. 1892.