Родился в с. Любимовка Глушковского района ЦЧО.
В 1950 г. окончил Рыльский сельскохозяйственный техникум.
В 1955 г. после окончания Воронежского сельскохозяйственного института работал в Курской области агрономом, директором Кремяновской машинно-тракторной станции (МТС).
В 1958-1960 гг. — начальник инспекции по сельскому хозяйству Медвенского района.
С мая 1960 г. по июль 1961 г. — председатель райисполкома Медвенского р-на.
В 1961-1962 гг. — первый секретарь Хомутовского РК КПСС.
В 1962-1964 гг. — первый секретарь парткома Дмитриевского производственного колхозно-совхозного управления.
В 1964-1965 гг. — первый секретарь Дмитриевского РК КПСС.
В 1967 г. окончил Высшую партийную школу при ЦК КПСС.
В январе 1968 г. избран секретарём Курского обкома КПСС.
В 1970-1988 гг. — Первый секретарь Курского обкома КПСС.
Освобождён от занимаемой должности по состоянию здоровья решением ЦК КПСС.
С 1988 г. — директор областной школы по подготовке партийно-хозяйственных кадров.
А.Ф. Гудков избирался: делегатом ХХV-ХХVI съездов КПСС, членом ЦК КПСС (1976-1989), депутатом Верховного Совета СССР 8, 9, 10 созывов.
Скончался и похоронен в Курске. На захоронении установлен памятник (бюст).
Награды: два ордена Ленина, орден Октябрьской Революции, орден «Знак Почёта», медали.
В 1992 г. в память А.Ф. Гудкова, на здании ул. Ленина, 108 открыта мемориальная доска.
В апреле 2007 г. мемориальная доска открыта на родине А.Ф. Гудкова, на фасаде средней школы с. Любимовка.
16 декабря 2014 г. решением городского собрания имя А.Ф. Гудкова присвоено новой улице Курска (между ул. Дубровинского и ул. Фестивальной).