В 1901 г. окончил историко-филологический факультет Московского университета.
В 1906 г. драматические курсы Московского театрального училища (курс А. П. Ленского).
До 1918 г. работал в Московском Малом театре.
В 1918-1922 гг. — главный режиссёр Курского драматического театра им. А. С. Пушкина. Приехал по приглашению Курского губернского исполкома для формирования труппы на летний сезон.
В течение первого же летнего сезона поставил спектакли, "Лес" и "Бешеные деньги" А. Островского, "Кин" А. Дюма, затем репертуар пополнился спектаклями "Горе от ума" А. Грибоедова, "Двенадцатая ночь" В. Шекспира, "Плоды просвещения" Л. Н. Толстого, "Свадьба Кречинского" А. В. Сухово-Кобылина и др.
А.Л. Желябужский был актёром героического плана. В Курске играл Чацкого ("Горе от ума" А. С. Грибоедова), Гамлета ("Гамлет" В. Шекспира), Генриха ("Потонувший колокол" Г. Гауптмана), Райского ("Обрыв" И. А. Гончарова), Лаврецкого ("Дворянское гнездо" И. С. Тургенева).
В его труппе работали такие любимцы публики, как З. Н. Минаева, А. И. Волохов, Н. А. Белевцева (позднее актриса Малого театра, народная артистка РСФСР).
Как театральный драматург А. Л. Желябужский известен пьесами-инсценировками, в частности, "Казаки" (1915, по Л. Толстому), "Овод" (1938, по Э. Войнич), "Фома Гордеев" (1938, по М. Горькому), "Униженные и оскорблённые" (1960, по Ф. Достоевскому) и др., а также и оригинальными пьесами: "Борьба продолжается" (М., 1938), "Вихри мятежные" (М., 1964), "Огни Смольного" (М., 1968).
Е. М. Богатырёва