Родился в с. Байловка Пичаевского района ЦЧО.
В 1957 г. с отличием закончил Рязанский медицинский институт.
В 1964 г. защитил кандидатскую диссертацию на тему «Материалы по изучению степени соответствия величины рефлекторной реакции силе раздражителя». Полученные результаты позволили обосновать новый подход к разработке способов диагностики функционального состояния сложной биологической системы.
В 1967 г. возглавил кафедру нормальной физиологии Курского государственного медицинского института.
В 1970 г. защитил докторскую диссертацию, в которой обобщил результаты исследований о закономерностях корреляции физиологических функций на клеточном, органном и организменном уровнях. Диссертация выполнена на стыке нейрофизиологии, психофизиологии, биофизики, нейрокибернетики и клиники.
В 1972 г. назначен проректором по научной работе.
25 лет А.В. Завьялов вместе со своими сотрудниками посвятил изучению закономерностей системной организации физиологических функций. Под его руководством постоянно работал коллектив из 36-45 специалистов разного профиля. Он — автор, около 250 научных работ, 9-и свидетельств на изобретения и патентов.
Под его руководством созданы ряд устройств и приборов для функциональной диагностики и физиотерапии. Электростимулятор «Скат» отмечен золотой медалью на Международной выставке в Брюсселе 1977 г.
Наиболее значимые результаты опубликованы в центральных журналах страны и во многих журналах США, Англии, Японии.
Основные результаты исследований обобщены в двух монографиях: «Корреляция физиологических функций в норме и патологии» (Курск, 1978), «Соотношение функций организма. Экспериментальный и клинико-физиологический аспекты» (М., «Медицина», 1990).
За цикл работ, посвящённых изучению закономерностей системной организации функций, Президиум РАМН присудил Завьялову премию имени П. К. Анохина. Системная организация физиологических функций в норме и патологии как научная проблема стала ведущей в университете. Это оригинальное и перспективное направление заложило основы профилактической медицины.
В 1978-2003 гг. А.В. Завьялов — ректор КГМИ (КГМУ), директор Центрально-Чернозёмного научного центра РАМН.
Много сил и внимания отдал созданию материальной базы КГМУ, выполнял большую общественную работу, являясь членом Центрального совета физиологического общества, председателем правления Курского отделения физиологического общества, членом учёного совета Министерства здравоохранения РФ, членом проблемной комиссии по физиологии Министерства здравоохранения РФ, председателем Курского областного отделения Российского фонда мира.
С 1991 г. в университете начал работать специализированный Совет по присуждению учёной степени кандидата медицинских наук по нормальной физиологии и иммунологии, председателем которого стал А.В. Завьялов.
Им подготовлено шесть докторов наук и более сорока кандидатов.
По его инициативе началась подготовка специалистов по клинической фармации, медицинской психологии, инженеров химико-фармацевтического производства, медицинских сестёр с высшим образованием, социальных работников и экономистов здравоохранения.
Признание научной школы А.В. Завьялова позволило Курскому медицинскому институту в 1994 г. обрести статус университета.
Скончался в Курске. Похоронен на Северном кладбище.
Награды: орден Трудового Красного Знамени (1981), знак «Отличник здравоохранения СССР», медали за изобретения и научные труды, медали за заслуги в деле возрождения науки и экономики России, медали Всемирного Совета мира, медали Советского фонда защиты мира, лауреат премии общественного признания «Курская антоновка» Человек года-2002.
8 февраля 2010 г. в Курском государственном медицинском университете открыли мемориальную доску работы скульптора С.В. Третьякова.
Решением Учёного Совета КГМУ кафедре нормальной физиологии присвоено имя профессора А.В. Завьялова.
А. Ю. Друговская
Ист.: Курский ордена Трудового Красного Знамени государственный медицинский институт. Курск, 1992.