Родился в Воронеже в еврейской семье.
Детство и юность прошли в п. Алексеевка Курской губернии (ныне Белгородской области).
Окончил 7 классов гимназии.
Участвовал в гражданской войне в России, дослужившись к концу её от рядового красноармейца до командира конного эскадрона.
В 1931 г. закончил военную академию им. Фрунзе.
В ноябре 1936 г. во время гражданской войны в Испании Кривошеин под псевдонимом «полковник Мелле» прибыл с первой группой танкистов, и сыграл решающую роль в обороне Мадрида, став одним из создателей республиканских танковых войск.
В 1938 г. С.М. Кривошеин участвовал в советско-японском военном конфликте у оз. Хасан.
В 1939 г. при оккупации Польши совместно с немецким генералом Г. Гудерианом в Бресте принимал объединенный парад советских и немецких войск по случаю передачи этого города Советскому Союзу.
В 1939–1940 гг. участвовал в советско-финской войне.
Во время Великой Отечественной войны (1941-1945) Кривошеин командовал 3-м механизированным корпусом.
В Курской битве в июле 1943 г. корпус под командованием Кривошеин в составе 1 танковой армии Катукова, стоял насмерть на подступах к г. Обоянь (в р-не. п. Яковлево) против отборной группировки немецких войск из элитных дивизий СС и вермахта.
В течение 6 июля восемь раз, крупные силы гитлеровцев до 400 танков и самоходных орудий при поддержке авиации пытались прорваться сквозь боевые порядки 3-го механизированного корпуса.
День 8 июля стал решающим.
С утра до поздней ночи на позиции 3-го механизированного корпуса, немецкое командование бросало всё новые группы танков. Временами казалось, что невозможно остановить эту стальную лавину.В этот день немцы предприняли 12 атак. В небе повисли сотни самолетов. Как потом выяснилось, фашисты бросили всю свою авиацию. Несмотря на колоссальные усилия, немцы не смогли прорвать оборону на этом участке.
9 и 10 июля немецкий генерал-фельдмаршал Манштейн по-прежнему бросал крупные массы танков и по-прежнему в воздух поднимались тяжело груженные бомбами немецкие самолёты «Юнкерсы-52», но это уж был жест отчаяния, чем силы.
Об ожесточённости сражения свидетельствует донесение о потерях от 19.07.1943 г. по 3-му механизированному корпусу, где показано в графе ранено - 2536 человек, общее число потерь составило — 5300 человек.
12 июля немцы, не добившись успеха на этом участке, произвели перегруппировку войск и развернули наступление на прохоровском направление. Именно туда двинулись колонны танковых дивизий СС, намереваясь захватить Прохоровку, где разыгралось невиданное по размаху танковое сражение.
16 июля стало завершающим в Прохоровском сражении. Понеся большие потери и окончательно потеряв веру в победу, гитлеровские войска перешли к обороне.
18 июля 1943 г. Военный совет 1-й танковой армии представил 3-й механизированный корпус генерал-майора Кривошеина к званию гвардейского.
Во время Висло-Одерской операции Кривошеин командует 1-м механизированным корпусом (единственное в Красной Армии воинское подразделение, полностью укомплектованное американскими танками «Шерман» и английскими танками «Валентайн»). Части этого корпуса одними из первыми вторглись в пределы Германии.
26 января в р-не Чарникау, совершив стремительный 60-километровый бросок части корпуса форсировали р. Нетце.
31 января танкисты 1-го мех. корпуса первыми достигли Одера, и, переправившись через него, завязали бои за г. Кинитц. Захват этого небольшого участка положил начало создания знаменитого кюстринского плацдарма с которого войска 1-го Белорусского фронта нанесли последний удар на Берлин.
Корпус принял участие в штурме Берлина и танкисты Кривошеина одни из первых вошли на его улицы.
Переброшенный на северо-западные окраины Берлина, механизированный корпус Кривошеина форсировал р. Шпрее и через несколько дней соединился с наступавшими с юга частями танковой армии Рыбалко. Берлин был полностью окружен.
После окончания войны С.М. Кривошеин направлен на преподавательскую работу.
В 1952 г. — вышел в отставку.
Скончался и похоронен в Москве.
Кривошеин — один из немногих военачальников, награждённых тремя орденами Ленина, тремя орденами Красного Знамени, орденом Кутузова 1-й ст., орденом Суворова 2-й ст., Красной Звезды, многими зарубежными орденами и медалями.
В его честь в г. Обоянь Курской области, в п. Яковлево (ныне Белгородская область) и в Воронеже названы улицы.
В центре г. Обояни, на здании кинотеатра, установлен скульптурный бронзовый барельеф генерал-лейтената.
В г. Брест (Белоруссия) ему присвоено звание «Почётный гражданин города Бреста» и также названа улица.
Его имя носит теплоход Министерства речного флота.
Соч.:
Сквозь бури. Воспоминания. М., «Молодая гвардия», 1959;
Ратная быль. Воспоминания молодого командира. М., «Молодая гвардия», 1962;
Междубурье. Воспоминания. Воронеж, Центрально-Черноземное кн. изд., 1964;
Чонгарцы. М., «Сов. Россия», 1975.
Ист.:
М. Е. Катуков На острие главного удара. М., Воениздат, 1985;
Ф. Д. Свердлов. Евреи — генералы Вооружённых сил СССР. — М., 1993;
В. Савенков. Генерал, который спас Обоянь. «Курская правда» от 12 июня 1998 г.;
В. Н. Замулин Засекреченная Курская битва. Неизвестные документы свидетельствуют.