Родился в Херсонской губернии.
В 1881 г. закончил Харьковский ветеринарный институт как стипендиат Курского земства.
С 1883 г. работал в Курской губернии на должности уездного земского ветеринарного врача.
В 1893 г. впервые успешно провел вакцинацию крупного рогатого скота против сибирской язвы.
В 1897 г. стал руководителем ветеринарной бактериологической лаборатории.
Под руководством Диковского лаборатория приступила к производству сывороток и вакцин и впоследствии переросла в Курскую биофабрику.
В 1913 г. Диковский награжден большой золотой медалью Всероссийской гигиенической выставки в честь 300-летия дома Романовых, проводившейся в Санкт-Петербурге.
После событий Октябрьской революции 1917 г. дом где проживал Диковский в Курске национализировали, но его авторитет был настолько высок, что местные власти, в нарушение законов, решили вернуть его хозяину.
В газете "Курская правда" от 23 сентября 1923 писалось так: "Ввиду особых заслуг врача Диковского по организации и поддержанию Бактериологического института, а также в связи с исполняющимся 40-летием службы по ветеринарии, президиум губисполкома постановил, возвратить доктору Диковскому принадлежавшее ему домовладение по Садовой ул., № 10" (здание сохранилось до наст. времени).
В 1921 г. Курский губисполком присвоил Диковскому звание "Курский Герой труда".
В марте 1922 г. ветеринарно-бактериологическая лаборатория преобразована в Курский ветеринарно-бактериологический институт имени ветврача Н. Д. Диковского.
Скончался в Курске. Похоронен на Никитском кладбище.
В некрологе приват-доцент Н. А. Соколов писал: "Этому институту (ветеринарно-бактериологическому) Николай Данилович отдал все свои богатые силы, и на работе по его дальнейшему расширению получил тяжелый недуг, быстро сведший его в могилу, несмотря на весьма крепкий организм. Болея гриппом, он пошел покупать строительные материалы для устройства при Бактериологическом институте помещений для сывороточных лошадей. Отбирая на морозе в течение нескольких часов материалы, Диковский простудился, в результате чего грипп осложнился нефритом, окончившимся летально".
В дни подготовки к 100-летию основания Курской биофабрики (1996) на могиле выдающегося учёного установили памятник.
В 2008 г. на административном здании биофабрики в память о Диковском установлена мемориальная доска.
Соч.: Н. Д. Диковский. Отчет о деятельности ветеринарной бактериологической лаборатории Курского губернского земства в 1912 году. Курск, 1913, с. 14.